Задание 14. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 111.7.2.2; 11 класс: 111.7.3.2 (базовый уровень); 10 класс: 112.7.2.2; 112.7.2.3; 11 к: ЕГЭ по математике

Задание 14 ЕГЭ по математике (профильный уровень) проверяет умение решать тригонометрические уравнения и отбирать корни на заданном отрезке. Оно относится к части 2 с развёрнутым ответом и оценивается в 2 первичных балла. В пункте а требуется решить уравнение, в пункте б — указать корни…

Что нужно знать

• Задание 14 — это тригонометрическое уравнение с отбором корней на отрезке; ответ в пункте а — общие серии корней, в пункте б — конкретные числа.
• Основные формулы: cos2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x; sin2x = 2sinx cosx; формулы приведения (cos(x+π) = −cosx, sin(x+π) = −sinx и т.п.).
• Простейшие тригонометрические уравнения: cosx = a (x = ±arccos a + 2πk), sinx = a (x = (−1)^n arcsin a + πn), tgx = a (x = arctg a + πk).
• При решении уравнения нужно сначала упростить выражение, используя формулы, затем свести к простейшему уравнению или к квадратному относительно одной тригонометрической функции.
• Отбор корней на отрезке можно выполнять: а) с помощью тригонометрической окружности; б) через неравенства для целочисленного параметра; в) подстановкой последовательных значений k.
• В ответе пункта а обязательно указывать целочисленный параметр (k, n, m) и множество целых чисел (k ∈ ℤ).

Термины и понятия

• Тригонометрическое уравнение: уравнение, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции.
• Серия корней: множество решений уравнения, задаваемое формулой с целочисленным параметром.
• Отбор корней: процесс выбора из общего решения тех корней, которые принадлежат заданному промежутку.
• Формулы приведения: формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции углов вида π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α через функции угла…
• Формула косинуса двойного угла: cos2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x.
• Формула синуса двойного угла: sin2x = 2sinx cosx.
• Тригонометрическая окружность: окружность единичного радиуса с центром в начале координат, используемая для решения уравнений и отбора…
• Целочисленный параметр: переменная k (n, m), принимающая только целые значения (k ∈ ℤ).

Частые ошибки

• Ошибка в формуле косинуса разности или приведения: неверный знак (например, cos(x+π) = cosx вместо −cosx).
• Потеря серий корней при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (например, деление на cosx без учёта cosx=0).
• Неверное сведение к простейшему уравнению: например, из cos2x = 1/2 делают вывод 2x = ±π/3 + 2πk, забывая, что период косинуса 2π, а для 2x период π.
• Ошибка при отборе корней: неверное решение двойного неравенства относительно k (например, забыли, что k целое).

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Задание 14. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 111.7.2.2; 11 класс: 111.7.3.2 (базовый уровень); 10 класс: 112.7.2.2; 112.7.2.3; 11 к» занимает 8 занятий по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Задание 15. Стереометрия (развёрнутое решение)
• Задание 16. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 111.7.2.2; 11 класс: 111.7.3.2 (базовый уровень); 10 класс: 112.7.2.2; 11 класс: 112.7
• Задание 17. Какова максимальная тепловая мощность, которая может быть выделена нагрузкой?
• Задание 18. Планиметрия (развёрнутое решение)
• Задание 19. Уравнения, неравенства и задачи с параметром
• Задание 20. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 112.7.2.2; 112.7.2.3; 11 класс: 112.7.3.2; 112.7.3.3; 10 класс: 112.7.2.1; 112.7.2.2;

← Предыдущая тема: Задание 13. Моделирование реальных ситуаций и финансовые задачи
Следующая тема: Задание 15. Стереометрия (развёрнутое решение)

Все темы: ЕГЭ по математике