Задание 18. Планиметрия (развёрнутое решение): ЕГЭ по математике

Задание 18 ЕГЭ по математике (профильный уровень) — планиметрическая задача повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом, оцениваемая в 3 первичных балла (по критериям ФИПИ максимальный балл — 4). В демоверсии и методических материалах ФИПИ задание представлено как задача с параметром, где…

Что нужно знать

• Задание 18 проверяет умение оперировать понятиями: точка, прямая, отрезок, луч, величина угла; использовать изученные факты и теоремы планиметрии; находить и вычислять геометрические величины (длина, угол, площадь).
• В экзаменационном варианте задание 18 может быть сформулировано как задача с параметром: «Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения».
• Ответ к заданию 18 — развёрнутый: требуется записать полное решение с обоснованием в бланке ответов № 2.
• Максимальный балл за задание 18 по критериям ФПИ — 4 балла (при этом в структуре КИМ указано 3 балла; в критериях демоверсии — 4 балла, что нужно учитывать при тренировке).
• Ключевой метод решения задач с параметром и системой уравнений — графический: построение множества точек, удовлетворяющих каждому уравнению системы, и анализ числа точек пересечения в зависимости от параметра.
• Второе уравнение системы часто задаёт параболу (или её часть), первое — прямую с параметром (например, 4x − y + a = 0, то есть y = 4x + a).

Термины и понятия

• Парабола: геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы); график квадратичной функции y =…
• Параметр: переменная, значения которой считаются фиксированными при решении уравнения или системы, но влияют на число и вид решений.
• Система уравнений: набор уравнений, решения которой — наборы значений переменных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям.
• Графический метод решения систем с параметром: построение множеств точек, удовлетворяющих каждому уравнению, и анализ их взаимного…
• Касание прямой и параболы: случай, когда прямая имеет с параболой ровно одну общую точку; характеризуется равенством дискриминанта…
• Вершина параболы: точка графика квадратичной функции с координатами (−b/(2a); c − b²/(4a)).
• Ограничение на часть кривой: условие, выделяющее подмножество точек графика (например, y ≥ 0 или y < 0), которое нужно учитывать при…
• Вписанный угол: угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность; равен половине дуги, на которую опирается.

Частые ошибки

• Включение в ответ граничных значений a = −18, −16, 0, 2, которые дают три решения, а не два — это ошибка, потому что условие требует ровно два решения.
• Решение уравнения параболы целиком без учёта ограничений на части кривых (y ≥ 0 и y < 0) — это ошибка, потому что часть графика может не входить в множество решений системы.
• Неверное разложение на множители при аналитическом решении и неучёт особых случаев (a = −2, −1, 1, 0) — это ошибка, потому что теряются или добавляются решения.
• Неверное использование свойства диаметра и вписанного угла — это ошибка, потому что приводит к неверным геометрическим соотношениям и, как следствие, к неверному ответу.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Задание 18. Планиметрия (развёрнутое решение)» занимает 9 занятий по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Задание 14. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 111.7.2.2; 11 класс: 111.7.3.2 (базовый уровень); 10 класс: 112.7.2.2; 112.7.2.3; 11 к
• Задание 15. Стереометрия (развёрнутое решение)
• Задание 16. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 111.7.2.2; 11 класс: 111.7.3.2 (базовый уровень); 10 класс: 112.7.2.2; 11 класс: 112.7
• Задание 17. Какова максимальная тепловая мощность, которая может быть выделена нагрузкой?
• Задание 19. Уравнения, неравенства и задачи с параметром
• Задание 20. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 112.7.2.2; 112.7.2.3; 11 класс: 112.7.3.2; 112.7.3.3; 10 класс: 112.7.2.1; 112.7.2.2;

← Предыдущая тема: Задание 17. Какова максимальная тепловая мощность, которая может быть выделена нагрузкой?
Следующая тема: Задание 19. Уравнения, неравенства и задачи с параметром

Все темы: ЕГЭ по математике