Задание 17. Какова максимальная тепловая мощность, которая может быть выделена нагрузкой?: ЕГЭ по математике

Задание 17 ЕГЭ по математике (профильный уровень) проверяет умение применять производную для нахождения наибольшего значения функции в прикладной задаче. В демоверсии это задача о максимальной тепловой мощности, выделяемой нагрузкой с сопротивлением R при заданных ЭДС ε и внутреннем сопротивлении…

Что нужно знать

• Формула мощности: P = I²R, где I = ε/(r+R), следовательно P(R) = ε²R/(r+R)².
• Область определения: R ≥ 0 (сопротивление нагрузки неотрицательно), r > 0, ε > 0.
• Для нахождения максимума P(R) можно исследовать производную P'(R) или максимизировать вспомогательную функцию.
• Производная P'(R) = ε²(r−R)/(r+R)³; критическая точка R = r.
• При R < r производная положительна, при R > r — отрицательна, значит R = r — точка максимума.
• Максимальная мощность P_max = ε²/(4r).

Термины и понятия

• ЭДС (электродвижущая сила): скалярная величина, характеризующая действие сторонних сил в источнике тока; обозначается ε, измеряется в…
• Внутреннее сопротивление: сопротивление источника тока; обозначается r, измеряется в омах.
• Нагрузка: внешний потребитель с сопротивлением R, подключаемый к источнику.
• Сила тока: I = ε/(r+R) по закону Ома для полной цепи, измеряется в амперах.
• Тепловая мощность: мощность, выделяемая в нагрузке, P = I²R (закон Джоуля — Ленца), измеряется в ваттах.
• Производная: предел отношения приращения функции к приращению аргумента; используется для исследования функции на экстремум.
• Критическая точка: точка, в которой производная равна нулю или не существует.
• Точка максимума: точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой окрестности.

Частые ошибки

• Максимизируют числитель ε²R, забывая о знаменателе (r+R)²; это ошибка, так как при увеличении R знаменатель тоже растёт.
• Неверно находят производную дроби: путают порядок членов в числителе или знак; приводит к неверной критической точке.
• Считают, что максимум достигается при R = 0 или при R → ∞; в этих пределах мощность равна 0, а не максимуму.
• Не проверяют смену знака производной и делают вывод о максимуме только по равенству производной нулю; это недостаточно.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Задание 17. Какова максимальная тепловая мощность, которая может быть выделена нагрузкой?» занимает 6 занятий по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Задание 14. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 111.7.2.2; 11 класс: 111.7.3.2 (базовый уровень); 10 класс: 112.7.2.2; 112.7.2.3; 11 к
• Задание 15. Стереометрия (развёрнутое решение)
• Задание 16. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 111.7.2.2; 11 класс: 111.7.3.2 (базовый уровень); 10 класс: 112.7.2.2; 11 класс: 112.7
• Задание 18. Планиметрия (развёрнутое решение)
• Задание 19. Уравнения, неравенства и задачи с параметром
• Задание 20. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 112.7.2.2; 112.7.2.3; 11 класс: 112.7.3.2; 112.7.3.3; 10 класс: 112.7.2.1; 112.7.2.2;

← Предыдущая тема: Задание 16. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 111.7.2.2; 11 класс: 111.7.3.2 (базовый уровень); 10 класс: 112.7.2.2; 11 класс: 112.7
Следующая тема: Задание 18. Планиметрия (развёрнутое решение)

Все темы: ЕГЭ по математике