Задание 9. Производная и исследование функций: ЕГЭ по математике

Задание 9 ЕГЭ по математике (профильный уровень) проверяет умение работать с производной и первообразной: находить уравнение касательной, исследовать функции с помощью производной, находить наибольшие и наименьшие значения, а также вычислять площади с помощью интеграла. Это задание базового уровня…

Что нужно знать

• Определение производной: производная функции f(x) в точке x0 — предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
• Геометрический смысл производной: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке (тангенсу угла наклона).
• Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0: y = f(x0) + f'(x0)(x - x0).
• Физический смысл производной: скорость изменения функции, например, скорость движения — производная координаты по времени.
• Правила дифференцирования: (u±v)' = u'±v', (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v - uv')/v^2, (cu)' = c u'.
• Производные элементарных функций: (x^n)' = n x^{n-1}, (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x.

Термины и понятия

• Производная: предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
• Касательная: прямая, имеющая с графиком функции общую точку и совпадающая с ним в малой окрестности этой точки; уравнение касательной в…
• Точка экстремума: точка области определения, в которой функция принимает локально максимальное или минимальное значение; в ней производная…
• Критическая точка: внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует.
• Первообразная: функция F(x), производная которой равна f(x) на заданном промежутке.
• Определённый интеграл: предел интегральных сумм, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница как разность значений первообразной.
• Криволинейная трапеция: фигура, ограниченная графиком неотрицательной функции, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми.
• Угловой коэффициент прямой: тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox; для касательной равен производной функции в…

Частые ошибки

• Ошибки в применении формул производных (например, путают производную синуса и косинуса, забывают знак минус).
• Неверное составление уравнения касательной: забывают добавить f(x0) или путают знаки.
• Неправильное нахождение углового коэффициента касательной (например, берут производную не в той точке).
• Путаница между точками экстремума и критическими точками: не все критические точки являются экстремумами.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Задание 9. Производная и исследование функций» занимает 6 занятий по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Задание 1. Планиметрия
• Задание 2. Векторы и координаты
• Задание 3. Стереометрия: углы и расстояния
• Задание 4. Вероятность случайного события
• Задание 5. Вероятность: графические методы и формулы
• Задание 6. Случайные величины и распределения

← Предыдущая тема: Задание 8. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 111.7.2.1; 111.7.2.2; 11 класс: 111.7.3.1; 111.7.3.2 (базовый уровень); 10 класс: 112.7
Следующая тема: Задание 10. Математическое моделирование

Все темы: ЕГЭ по математике