Задание 3. Стереометрия: углы и расстояния: ЕГЭ по математике

Задание 3 ЕГЭ по математике (базовый уровень, часть 1, краткий ответ) проверяет умение работать с пространственными конфигурациями: находить углы между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями, расстояния от точки до плоскости, между прямыми и плоскостями, а также вычислять объём и площадь…

Что нужно знать

• Определение угла между прямыми: угол между скрещивающимися прямыми — угол между параллельными им пересекающимися прямыми, принадлежит [0°; 90°].
• Определение угла между прямой и плоскостью: угол между прямой и её проекцией на плоскость, принадлежит [0°; 90°].
• Определение угла между плоскостями: угол между пересекающимися прямыми в этих плоскостях, перпендикулярными линии пересечения (линейный угол двугранного угла), принадлежит [0°; 90°].
• Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра.
• Расстояние между параллельными прямой и плоскостью — расстояние от любой точки прямой до плоскости.

Термины и понятия

• Угол между прямыми: угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым; принимает значения от 0° до 90°.
• Угол между прямой и плоскостью: угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость; если прямая перпендикулярна плоскости…
• Угол между плоскостями: двугранный угол, измеряемый линейным углом, образованным двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей…
• Расстояние от точки до плоскости: длина отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми: длина их общего перпендикуляра (кратчайшее расстояние между точками этих прямых).
• Проекция точки на плоскость: основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
• Ортогональная проекция прямой на плоскость: множество проекций всех точек прямой на плоскость; если прямая перпендикулярна плоскости…
• Двугранный угол: фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.

Частые ошибки

• Путают угол между прямой и плоскостью с углом между прямой и нормалью к плоскости (это дополнительные углы, и синус/косинус меняются местами).
• Неверно определяют линейный угол двугранного угла: берут произвольные перпендикуляры, не восстанавливая их из одной точки на линии пересечения.
• При нахождении угла между скрещивающимися прямыми забывают, что угол берётся между параллельными им пересекающимися прямыми, и пытаются найти угол между векторами, которые не приведены к общему…
• Ошибки в формулах объёма: путают коэффициент 1/3 у пирамиды и конуса, забывают его или применяют к призме.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Задание 3. Стереометрия: углы и расстояния» занимает 6 занятий по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Задание 1. Планиметрия
• Задание 2. Векторы и координаты
• Задание 4. Вероятность случайного события
• Задание 5. Вероятность: графические методы и формулы
• Задание 6. Случайные величины и распределения
• Задание 7. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 111.7.2.2; 11 класс: 111.7.3.2 (базовый уровень); 10 класс: 112.7.2.2; 11 класс: 112.7.

← Предыдущая тема: Задание 2. Векторы и координаты
Следующая тема: Задание 4. Вероятность случайного события

Все темы: ЕГЭ по математике